要为别人讲解高一数学上册的集合和绝对值不等式、一元二次不等式，求资料

今天合众百科就给我们广大朋友来聊聊集合判空方法,以下关于观点希望能帮助到您找到想要的答案。

本文导航，以下是目录：

• 1、要为别人讲解高一数学上册的集合和绝对值不等式、一元二次不等式，求资料
• 2、怎样判断一个合集是否为∅？
• 3、《回炉重造》——集合（容器）
• 4、高一数学中关于集合的知识

要为别人讲解高一数学上册的集合和绝对值不等式、一元二次不等式，求资料

最佳答案参考一下吧：

一、集合与简易逻辑：

一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。

（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。

（5）空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

二、集合中元素的个数的计算： （1）若集合 中有 n个元素，则集合 的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数是 。

三、若 ； 则 是 的充分非必要条件 ；

若 ； 则 是 的必要非充分条件 ；

若 ； 则 是 的充要条件 ；

若 ； 则 是 的既非充分又非必要条件 ；

四、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；

五、反证法：当证明“若 ，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成立，

步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个

否定

正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个

否定

二、函数

一、映射与函数：

（1）映射的概念：

（2）一一映射：

（3）函数的概念：

二、函数的三要素： ， ， 。

（1）函数解析式的求法： ①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法： 含参问题的定义域要分类讨论； 对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

（3）函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

三、函数的性质： 函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较） 导数法（适用于多项式函数） 复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。

判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）

平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数y＝f(2x)经过 平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象。

（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意义。

对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称

y=f(x)→y=－f(x) ,关于x轴对称

y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。（注意：它是一个偶函数）

伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

五、反函数：

（1）定义：

（2）函数存在反函数的条件： ；

（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；

（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择；②将 互换，得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）。

（5）互为反函数的图象间的关系：

（6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

七、常用的初等函数：

（1）一元二次函数： 一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；

两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；

顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；

①一元二次函数的单调性：

②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

有三个类型题型： (1)顶点固定，区间也固定。(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．

指数运算法则：

指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

（5）对数函数：

指数运算法则：

对数函数：y= (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

注意：（1）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

八、不等式

一、不等式的基本性质：

注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 ③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。 ④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小

二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

基本应用：①放缩，变形；②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

常用的方法为：拆、凑、平方；

三、绝对值不等式： 注意：上述等号“＝”成立的条件；

四、常用的基本不等式：

五、证明不等式常用方法：（1）比较法：作差比较：

作差比较的步骤： ⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 ⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 ⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 （3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证…… （4）反证法：正难则反。（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项， ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式， ⑷利用常用结论：（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

六、不等式的解法：

（1）一元一次不等式：

Ⅰ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；

Ⅱ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；

（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论：

（5）绝对值不等式：若 ，则 ； ；

注意：(1).几何意义：

(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；

(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；

（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（8）解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为 （或更多分 、 、 讨论。

五、数列

本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类；

③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整

体思想求解.

（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.

一、基本概念：

1、 数列的定义及表示方法：

2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 数列的前n项和公式Sn:

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn= Sn=

三、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。

18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列。

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3

24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。

25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

六、平面向量

1．基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2． 加法与减法的代数运算：

(1) ．

(2)若a=（ ）,b=（ ）则a b=（ ）．

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）;

+0= ＋(－ )=0.

3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。

(1)｜ ｜=｜ ｜•｜ ｜;

(2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时， 与 的方向相反；当 =0时， =0．

(3)若 =（ ），则 • =（ ）．

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ．

(2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ．

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2．

4．P分有向线段 所成的比：

设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。

当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0；

分点坐标公式：

5． 向量的数量积：

（1）．向量的夹角：

（2）．两个向量的数量积：

（3）．向量的数量积的性质：

(4) ．向量的数量积的运算律：

6.主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

七、立体几何

1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；

会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面

①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？

④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}

⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.

4.平面与平面

(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）

(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→

(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；

②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法

三角公式汇总

一、任意角的三角函数

在角 的终边上任取一点 ，记： ，

正弦： 余弦：

正切： 余切：

正割： 余割：

注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段 、 、 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系： ， ， 。

商数关系： ， 。

平方关系： ， ， 。

三、诱导公式

⑴ 、 、 、 、 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限）

⑵ 、 、 、 的三角函数值，等于 的异名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）

四、和角公式和差角公式

五、二倍角公式

…

二倍角的余弦公式 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

， ， 。

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）

， ， 。

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。

七、和差化积公式

…⑴

…⑵

…⑶

…⑷

了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式

（）

其中：角 的终边所在的象限与点 所在的象限相同，

， ， 。

十、正弦定理

（ 为 外接圆半径）

十一、余弦定理

十二、三角形的面积公式

（两边一夹角）

（ 为 外接圆半径）

（ 为 内切圆半径）

…海仑公式（其中 ）

怎样判断一个合集是否为∅？

最佳答案要判断一个合集是否为空集（∅），可以根据以下几种方法进行判断：

查看定义：查看该合集的定义或给定条件。如果合集在定义或条件中明确说明没有元素存在，即没有任何元素符合合集的定义或条件，则可以判断该合集为空集。

元素判断：检查合集中是否存在元素。如果合集中没有任何元素存在，即没有任何元素属于该合集，则可以判断该合集为空集。

推理判断：通过逻辑推理判断。根据已知的信息或前提，推断出合集中不存在任何元素。例如，如果已知一个合集A是另一个合集B的真子集，并且已经确定B为空集，则可以推断A也为空集。

需要注意的是，空集是一个特殊的集合，它不包含任何元素。在集合论中，空集通常用符号∅或{}表示。

在具体应用中，根据上述判断方法，可以对给定的集合进行分析和判断，确定它是否为空集。

《回炉重造》——集合（容器）

最佳答案整体框架

绿色代表接口/抽象类；蓝色代表类。

主要由两大接口组成，一个是「Collection」接口，另一个是「Map」接口。

前言

以前刚开始学习「集合」的时候，由于没有好好预习，也没有学好基础知识，接口，类，这些基础知识都没学好，所以学到这里还是懵懵懂懂的。第一次接触到「集合」，这两个字，在我的脑海中，只浮现出数学中学过的「集合」，所以当「集合」在编程语言中出现时，我就没有绕过来。不过以我现在的视角看，也是和数学中学过的「集合」这种概念是的。

数学中的「集合」：

集合是确定的一堆东西，集合里的东西则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。

Java 中的「集合」：在我的理解中，集合可以说是存放 Java 对象的东西，这个东西有人称为集合，也有人称为容器，这也是为什么我的标题写的是 集合（容器）。存放在集合中的对象，人们称为元素。

为什么会有集合的出现呢？

是这样的，在某些情况下，我们需要创建许多 Java 对象，那么这些对象应该存放在哪里？

需求是这样的：

可以存放对象

可以存放不同数据类型

可以存放很多对象，没有限制

那么一开始会想到数组，数组可以存放对象，是的，没错，但是，数组有它的缺点，就是一旦创建后，那么数组长度是不可变的，而且存放的对象的数据类型是固定的，所以数组不满足这些条件。此时，集合就出现了。

Java 中的集合

从上面的框架图中可以看到，主要就两个接口，分别是 Collection 和 Map。

这两个接口都抽象了元素的存储方法，具体有什么区别呢？好吧，不说也知道，Collection 就是用来存储单一元素的，而 Map 是用来存储键值对的。

下面我将从这两个接口切入，进而开始好好地回炉重造，哈哈哈哈哈。

可以带着这些问题去回顾：

Collection 是怎样的？Map 又是怎样的？

它们分别还有什么子接口？它们又有哪些实现类呢？

提供给我们的API又有哪些呢？具体的 API 用法和效果是怎样的呢？

Collection

Collection 是最基本的集合接口，一个 Collection 代表一组 Object类型的对象，Java 没有提供直接实现Collection 的类，只提供继承该接口的子接口（List、Set、Queue 这些）。该接口存储一组不唯一，无序的对象。这里强调不唯一、无序，那么集合的范围就很大，想要缩小，比如唯一、有序这些，就可以通过子接口来规定，刚好，它就是这样来定义子接口的。

List 接口：元素不唯一且有序，说明可以存储多个相同的元素，但是存储是有顺序的，即有序可重复。

Set 接口：元素唯一且无序，说明不能存储多个相同的元素，存储的元素没有顺序，即无序不可重复。

我们再来看看 Collection 接口它抽象出来的方法有哪些。

其中，还可以看到有个以 Iterable（可迭代的） 来分类的方法，主要就是 iterator() 这个方法，即迭代器。所谓迭代器，就是用来遍历集合元素的一个东西。

/***Returnsaniteratorovertheelementsinthiscollection.Thereareno*guaranteesconcerningtheorderinwhichtheelementsarereturned*(unlessthiscollectionisaninstanceofsomeclassthatprovidesa*guarantee).**@returnan<tt>Iterator</tt>overtheelementsinthiscollection*/Iterator<E>iterator();

iterator() 这个方法就是用来返回对此集合中元素的迭代器，也就是说获取该集合的迭代器。 这个抽象方法不保证迭代的顺序（除非此集合是某个提供保证的类的实例）。

再通俗一点，我们想要遍历集合的元素，那么就需要通过集合对象获取迭代器对象，通过迭代器对象来遍历集合中的元素，而且遍历的顺序是跟该集合有关的。

关于这个迭代器，后续再来讲吧。

下面开始说一下基本的接口实现类，基本的API，加上一些自己的见解，最主要是先回顾 API 的使用，毕竟还有好多知识，这些知识需要建立在我们会用的前提下，所以这里浅入浅出~

List 接口下的实现类

List 接口下的实现类有 ArrayList、LinkedList、Vector、Stack

这里简要介绍下 List 接口，List 接口是一个有序的 Collection，使用此接口能够精确的控制每个元素插入的位置，能够通过「索引」（即元素在 List 中位置，类似于数组的下标，从0开始）来访问 List 中的元素。它存储一组不唯一、有序（插入顺序）的对象。

ArrayList

我们看下 ArrayList 源码，它是这样定义的：

publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}

可以看到，它

继承了 AbstractList

实现了 List，RandomAccess，Cloneable，Serializable

ArrayList 是动态数组，所谓动态数组，即可以动态的修改，随时出入、删除元素，还可以动态扩容，也就是没有固定的容量限制，可以存放很多元素，直到你的内存爆炸。

初始化是这样的：

//1.以多态的方式写，接口不能实例化，所以通过其实现类对接口实例化。List<E>list=newArrayList<>();//2.直接ArrayListArrayList<E>list=newArrayList<>();

这两种写法有什么区别呢？

第1种写法：此时的 List 的对象 list，可以通过这个对象调用 List 接口声明的方法，但是不能调用 ArrayList 独有的方法，换句话说，List 这个接口规定了一些抽象的方法，具体实现不关心，你可以直接调用。这里「具体实现不关心」就是说，你是使用 ArrayList 来实例化 List 接口或者使用 LinkedList 来实例化 List 接口，List 接口它都不关心，外界使用的时候，知道 List 提供这些 API 就够了。另一个角度理解，即该 list 对象拥有 List 的属性和方法，没有 ArrayList 独有的属性和方法。

第2种写法：此时 ArrayList 的对象 list，可以调用所有方法，毕竟 ArrayList 实现了 List 接口，那么 List 有的方法，ArrayList 的对象 list也有。

进入正题

这些 API 的使用，需要熟悉，毕竟算法题也会用到。

publicvoidapiOfArrayList(){intidx;List<Integer>list=newArrayList<>();//添加元素list.add(23);list.add(30);//根据下标（索引）获取元素idx=list.get(0);idx=list.get(1);//更新元素值，在某个位置重新赋值list.set(1,32);List<String>list2=newArrayList<>();list2.add("god23bin");list2.add("LeBron");list2.add("IloveCoding");//移除下标（索引）为2的元素list2.remove(2);//移除指定元素list2.remove("god23bin");//获取集合长度，遍历会用到intlen=list2.size();//判断某个元素是否在集合中，算法题会用到的booleanflag=list2.contains("god23bin");//判断集合是否为空，算法题会用到的booleanflag2=list2.isEmpty();}

排序：

ArrayList 中的 sort() 方法

Randomrandom=newRandom();List<Integer>numList=newArrayList<>();for(inti=0;i<10;++i){numList.add(random.nextInt(100));}//将numList升序排序numList.sort(Comparator.naturalOrder());//将numList降序排序numList.sort(Comparator.reverseOrder());

Collections 工具类的 sort() 方法

//将numList升序排序Collections.sort(numList);

关于 Collections 工具类的排序

看看这两个方法，这两个方法都是泛型方法。

publicstatic<TextendsComparable<superT>>voidsort(List<T>list){list.sort(null);}publicstatic<T>voidsort(List<T>list,Comparator<superT>c){list.sort(c);}

第一个方法需要「待排序类」实现 Comparable 接口，这样才能使用这个方法。

第二个方法需要「待排序类」有一个比较器，即 Comparator，换句话说需要有一个比较器类实现 Comparator接口，这样才能使用这个方法。

扯到 Comparable 和 Comparator

所以，如果你想要某个类的对象支持排序，那么你就需要让这个类实现 Comparable 接口，这个接口只有一个抽象方法 compareTo()，我们需要实现它，它的规则是：若 当前值 较大则返回正值，若相等则返回0，若 当前值 较小则返回负值。

这里我们可以看到，Collections 是可以对 numList 进行排序的，因为这个 numList 集合的元素类型是 Integer，为什么 Integer 类型的元素支持排序？我们可以从源码中看到 Integer 是实现了 Comparable 接口的，所以 Integer 类型的元素才支持排序。

publicfinalclassIntegerextendsNumberimplementsComparable<Integer>{.publicintcompareTo(IntegeranotherInteger){returncompare(this.value,anotherInteger.value);}publicstaticintcompare(intx,inty){return(x<y)-1:((x==y)0:1);}.}

回到第一句话，如果你想要某个类的对象支持排序，那么你就需要让这个类实现 Comparable 接口，不然是不支持排序的。

下面，我这里就分别使用两种方式（实现 Comparable 或 Comparator）让某个类支持排序。

搞定 Comparable

举个栗子：我这里有一个 Game 类（待排序类，本身不支持排序，我们的任务是让 Game 具有可排序的能力），当你把多个 Game 对象放到集合中使用 Collections 这个工具类进行排序时，Collections 是不知道如何给 Game 排序的，直到 Game 实现了 Comparable 接口后，Collections 才知道 Game 该如何排序。

Game 类实现 Comparable 接口，重写 compareTo() 方法。

publicclassGameimplementsComparable<Game>{publicStringname;publicDoubleprice;//省略gettersetter构造方法@OverridepublicintcompareTo(Gameo){returncomparePrice(this.price,o.price);}publicintcomparePrice(doublep1,doublep2){returnp1>p21:(p1==p20:-1);}}

这样，我们就可以使用 Collections 对 Game 进行排序。

List<Game>gameList=newArrayList<>();gameList.add(newGame("GTA",58.0));gameList.add(newGame("FC",118.0));gameList.add(newGame("2K",199.0));Collections.sort(gameList);//进行排序System.out.println(gameList);//打印排序结果

搞定 Comparator

同理，我这里有一个 Game 类

publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}0

写一个 Game 的比较器类 GameComparator，让这个类实现 Comparator 接口，重写 compare() 方法

publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}1

这样，我们就可以使用 Collections 对 Game 进行排序。

publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}2

总结排序

你可以选择两种方式（实现 Comparable 或 Comparator）中的其中一个，让某个类支持排序。

选择 Comparable，那么该类需要实现该接口

选择 Comparator，那么需要定义一个比较器，实现该接口

最后通过 Collections.sort() 进行排序。

LinkedList

LinkedList 是链表，属于线性表，学过数据结构的我们也是知道的，有指针域和数据域，虽然说 Java 里没有指针，但是有指针的思想，这里我也说不太清楚，反正是可以按指针来理解的。（如有更好的描述，欢迎帮我补充啦！）

在 Java 中，这个 LinkedList 是 List 接口下面的实现类，也是很常用的一种集合容器，算法题也会用到它。

我们看下 LinkedList 源码，它是这样定义的：

publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}3

可以看到，它

继承了 AbstractSequentialList

实现了 List，Deque，Cloneable，Serializable

同样，LinkedList 需要掌握的方法和 ArrayList ，可以说基本是一样的，只是底层实现不一样。

目前这里就不演示基本的使用方法了，你可以自己动手试试啦！

Vector

我们看下 Vector 源码，它是这样定义的：

publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}4

可以看到，它

继承了 AbstractList

实现了 List，RandomAccess，Cloneable，Serializable

这样一看，它和 ArrayList 的定义，简直是一模一样。那它们之间有什么区别吗？那当然是有啦！

区别就是 Vector 是线程安全的，在多线程操作下不会出现并发问题，因为 Vector 在每个方法上都加上了 synchronized 关键字，保证多个线程操作方法时是同步的。

Stack

Stack 顾名思义，就是栈，它是 Vector 的子类，实现了标准的栈这种数据结构。

publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}5

它里面包括了 Vector 的方法，也有自己的方法。

empty()：判断栈是否为空

peek()：查看栈顶元素

push()：入栈

pop()：出栈

search()：搜索元素，返回元素所在位置

publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}6

但是目前这个已经官方不推荐使用了，而是选择使用 LinkedList 来用作栈。

这里就要扯到队列 Queue 啦！

Queue 接口

Java 中的 Queue 是一个接口，和上面的 Stack 不同，Stack 是类。

我们看下 Queue 接口源码，它是这样定义的：

publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}7

这个接口就抽象了 6 个方法：

add()：入队，即队尾插入元素

offer()：入队，即队尾插入元素

peek()：查看队头元素

poll()：查看队头元素

remove()：出队，即移除队头元素

element()：出队，即移除队头元素

大大的疑问来了！这些方法有什么区别我们看看源码怎么说的，这个源码说明也不怕，下面我有翻译~

add() 和 offer() 的区别publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}8

所以区别就是：在容量有限制的队列中，add() 超过限制会抛出异常，而 offer() 不会，只会返回 false

remove() 和 poll() 的区别publicclassArrayList<E>extendsAbstractList<E>implementsList<E>,RandomAccess,Cloneable,java.io.Serializable{.}9

所以区别是：当队空时删除元素，那么 remove() 会抛出异常， poll() 会返回null

element() 和 peek() 的区别//1.以多态的方式写，接口不能实例化，所以通过其实现类对接口实例化。List<E>list=newArrayList<>();//2.直接ArrayListArrayList<E>list=newArrayList<>();0

高一数学中关于集合的知识

最佳答案一．知识归纳：

1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（aA和aA，二者必居其一）、互异性（若aA，bA，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件

2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N*

2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；

2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）

3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

5）补集：CUA={x| x A但x∈U}

注意：① A，若A≠，则 A ；

②若 ， ，则 ；

③若 且 ，则A=B（等集）

3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。

4．有关子集的几个等价关系

①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；

④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

5．交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩ = ，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪ =A，A∪B=B∪A；

③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；

6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

二．例题讲解：

【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系

A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{x|x= ,m∈Z}；对于集合N：{x|x= ,n∈Z}

对于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合 ， ，则（ B ）

A．M=N B．M N C．N M D．

解：

当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

A）1 B）2 C）3 D）4

分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6a∈M，那么集合M的个数为

A）5个 B）6个 C）7个 D）8个

变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x24x+r=0},且A∩B={1},A∪B={2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴124×1+r=0,r=3.

∴B={x|x24x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={2,1,3},2 B, ∴2∈A

∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

∴ ∴

变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.

解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m2+6=0,m=-5

∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。

综合各式有B={x|-1≤x≤5}

变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。

解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②

综①②得：所求集合为{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。

解答：（1）若 ， 在 内有有解

令 当 时，

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

解答：

点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

从上文内容中，大家可以学到很多关于集合判空方法的信息。了解完这些知识和信息，合众百科希望你能更进一步了解它。