证内心的方法!如何证明内心定理？有什么性质吗？
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如何证明内心定理？有什么性质吗？
优质回答答：
定理：三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。
比如AE是∠A的角平分线，BF是∠B的角平分线，CD是∠C的角平分线，三条线都相聚于I点，那么，I就是三角形的内心，也是这个三角形内切圆的圆心。
性质：
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
2、∠BIC=90°+∠BAC/2
3、在RtΔABC中，∠A=90°，三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD
4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
怎样求证三角形内心?
优质回答设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。
1、内心在△ABC三边距离相等，这个相等的距离是△ABC内切圆的半径；
2、若I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，则有DI=DB＝DC，即D为△BCI的外心。
3、r=S/p（S表示三角形面积）
证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。
4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。
5、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
6、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
7、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。
扩展资料
内心的运用：
RT△ABC中，，AC=6，BC=8，则△ ABC 的内切圆半径为r=2（图见上）
解析：⊙O是△ ABC的内切圆，设切点分别为D,E,F，连接OD,OE,OF,则OD⊥BC,OF⊥AB,OE⊥AC,由勾股定理可得AB=10。
连接OA,OB,OC,则OD,OE,OF,可分别看成△BOC, △AOC,△AOB的一条高，且OD=OE=OF=r,则BD=6-r,AE=8-r,由切线长定理可得BF=BD=6-r,AF=AE=8-r,而BF+AF=6-r+8-r=AB=10，r=1/2(6+8-10)=2.
参考资料来源：百度百科-内心
三角形五心的所有性质和证明方法
优质回答三角形五心分别指三角形内心、外心、垂心、重心和旁心。以下是它们的性质和证明方法：1. 内心：三角形内接圆的圆心，同时也是三条角平分线的交点。性质：内心到三角形三边的距离相等。证明：假设内心为I，三角形三边分别与圆心O相切于A,B,C，连接OI。则由切线定理可知，OA=OI，OB=OI，OC=OI，因此I到三角形三边的距离相等。2. 外心：三角形外接圆的圆心，即三条垂直平分线的交点。性质：三角形三个角的平均值等于360度，并且外心到三角形三个顶点的距离相等。证明：假设外心为O，连接OA，OB，OC。可以证明AO=OB=OC=圆周半径R，因此外心到三角形三个顶点的距离相等。又因为外接圆的圆心在三角形外，不妨设角A为外角，则∠BAC=∠BOC，∠CAB=∠COB，∠ABC=∠AOB，所以三角形三个角的平均值等于360度。3. 垂心：三角形三边与对边垂线的交点（也可以定义为三条高线的交点）。性质：垂心到三角形三边的垂线长度相等。证明：假设垂心为H，连接AH，BH，CH。因为∠ABH=∠ACH=90度，所以AH过B,C的垂线长度相等，同理可以证明BH，CH过A,C的垂线长度相等。4. 重心：三角形三个顶点和重心连线的中垂线交点。性质：重心将中线分成2：1的比例。证明：假设重心为G，AB的中点为M，则连接GM和MA。由于∠GMB=∠GAB=90度，所以MG是AB中线的中垂线，又因为AG:GM=2:1，所以重心将中线分成2：1的比例。5. 旁心：三角形外接圆的圆心，即三角形外对接圆的圆心。性质：旁心到对边的距离相等。证明：不妨设旁心为I，三角形的B,C对应的外接圆相交于E，连接IE。由于∠E=90度，且AE=IE，所以I到AC的距离等于I到AB的距离。同理可证明I到AC，BC的距离相等。
如何证明三角形外心内心？
优质回答如下：
①三角形的外接圆有关定理：
三角形各边垂直平分线的交点，是外心。
外心到三角形各顶点的距离相等。
外心到三角形各边的垂线平分各边。
② 三角形的内切圆有关定理：
三角形各内角平分线的交点，是内心。
内心到三角形各边的距离相等。
三角形任一顶点到内切圆的两切线长相等。
三角形顶点到内切圆的切线长，是这点到圆心的距离与它圆外部分的比例中项。
有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等。
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。
④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）。
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